TUGAS KALKULUS I

TUGAS KALKULUS I

HIMPUNAN

OLEH :

I GEDE GEGIRANANG WIRYADI

NIM 0904105001

JURUSAN/PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS UDAYANA

2009
HIMPUNAN

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya memiliki persamaan dan didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

• Himpunan mahasiswa teknik sipil yang memiliki nim akhir ganjil.
• Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

1. Metode Roster
   yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
   tanda kurung {...........}
   contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

K Himpunan material kolom = { besi, semen, pasir}

2. Metode Rule
   yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
   contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

K = { x | adalah material kolom}

1. Elemen (Anggota) notasi : Î
   setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
   elemen/anggota himpunan itu.
   contoh:
   A ={a,b,c,d}
   a Î A (a adalah anggota himpunan A)
   e Ï A (e bukan anggota himpunan A)

B = {batu, pasir semen}

Pasir Î B ( pasir adalah anggota himpunan B)

Kayu Ï B ( kayu bukan anggota himpunan B)

2. Himpunan kosong 9999999999999notasi : f atau {}
   yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
   contoh :
   A = { x | x² = -2; x riil}
   A = f
   
   
3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
   yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
   contoh :
   K = {1,2,3}
   S = { x | x bilangan asli } atau
   S = { x | x material lantai bangunan} atau
   S = { x | x material pondasi bangunan } dsb.

1. Himpunan bagian notasi : Ì atau É
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   Ditulis : A Ì B f atau B É A
   
   

U

B

A

contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

ketentuan :

• himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
• himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
• himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }

2. Himpunan sama ttttttttttt notasi : =
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
   
   Ditulis A = B
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
3. Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   Ditulis A // B
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

1. Gabungan (union) notasi : È
   
   Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.
   
   A È B = { x | x Î A atau x Î B }

U A B Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A È B

contoh:
A = {1,2,3}
B = {0,2,4}
Maka A È B = {0,1,2,3,4}

2. Irisan (intersection) notasi : Ç
   
   Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B, dengan kata lain Irisan adalah suatu unsur-unsur yang dimiliki oleh himpunan A juga dimiliki oleh himpunan B.
   
   A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

U A B Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A Ç B

contoh:
A={1,2,3,4}
B={3,4,5}
maka A Ç B = {3,4}

3. Selisih notasi : -
   
   Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B atau unsur-unsur yang termasuk di A tetapi tidak di B.
   
   A - B = { x | x Î A dan x Ï B }

U A B Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A - B

contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}

_

4. Komplemen notasi: A', A^c, A
   
   Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.
   
   A' = { x | x Î S dan x Ï A }

U A A’ Gbr. Diagram Venn

daerah yang diarsir menyatakan A'

contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}

1. Komutatif	A Ç B = B Ç A A È B = B È A
2. Asosiatif	A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C A È (B È C) = (A È B) È C
3. Distributif	A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
4. De Morgan	____ _ _ (A È B)= A Ç B ____ _ _ (A Ç B)= A È B

1. Himpunan bilangan asli
   Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
   
   N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
   Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
   
   P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
   Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
   
   C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
   Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
   
   B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
   Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
   p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan bilangan irasional
   Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
   
   contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan bilangan riil
   Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
   
   contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan bilangan imajiner
   Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
   
   contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
   Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
   
   contoh: 2-3i, 8+2

Contoh soal :

Dalam kumpulan mahasiswa terdiri dari 50 orang, di antara mereka terdapat 30 orang yang memilih mata kuliah struktur, 34 orang memilih mata kuliah hidrologi, dan 23 orang memilih keduanya. Berapa orang yang tidak mengikuti kedua mata kuliah tersebut?

Jawab:

Diketahui

Mahasiswa yang mengikuti kuliah Struktur = 30 orang

Mahasiswa yang mengikuti kuliah Hidrologi = 34 orang

Yang mengikuti keduanya = 23 orang

Yang tidak mengikuti kedua mata kuliah tersebut = x orang

Jumlah mahasiswa = 50 orang

Penyelesaian :

U

Kuliah Struktur Kuliah Hidrologi

7 23 11

X

- mahasiswa yang hanya memilih kuliah struktur = 30-23=7 orang

- mahasiswa yang hanya memilih kuliah hidrologi= 34-23=11 orang

- mahasiswa yang tidak mengikuti kuliah = x

50= (30 – 23) + (34 – 23 ) + 23 + x

X = 50 – (7 + 11 + 23)

= 50 – 41

= 9 orang

Jadi mahasiswa yang tidak mengikuti kedua mata kuliah tersebut sebanyak 9 orang.

Dalam suatu proyek, seorang kontraktor mempekerjakan tenaga kerja sebanyak 70 orang. Dalam proyek tersebut 30 orang mengambil pasangan batu kosong, 35 orang mengambil pasangan batu kali, 30 orang mengambil pasangan plesteran, 20 orang mengambil pasangan batu kosong dan batu kali, 30 orang mengambil pasangan batu kosong dan plesteran, 15 orang mengambil pekerjaan pasangan batu kali dan plesteran, 5 orang lagi mengambil ketiganya, dan sisinya tidak mengambil pekerjaan . Berapakah jumlah pekerja yang tidak mengmbil pekerjaan ?

Jawab

Jumlah seluruh pekerja = 60 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kosong= 30 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kali= 35 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan plesteran = 30 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan batu kali = 20 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan batu kosong dan plesteran = 10 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan batu kali dan plesteran = 15 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan ketiganya = 5 orang

Jumlah pekerja yang tidak mengambil pekerjaan = ....?

U

PAS. Batu Kosong PAS. Batu Kali

5 15 5

5

5 10

10

5 Plesteran

Jumlah semua pekerja = 60

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekrjaan ketiganya

= 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan batu kali = 20 – 5 = 15 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan plesteran = 10 – 5 = 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kali dan plesteran = 15 – 5 = 10 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan batu kali

= 35 – (20 + 15 – 5)= 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan batu kosong

= 30 – (20 + 10 – 5) = 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan plesteran

= 30 – (15 + 10 – 5) = 10 orang

Jadi jumlah pekerja yang tidak mengambil pekerjaan = 60 – (5+5+5+5+15+10+10+15) = 5 orang.

Dalam bidang Teknik Sipil

Dalam pembuatan sebuah rumah sederhana, pembuatan pondasi dibutuhkan bahan-bahan sebagai berikut : batu, pasir, dan semen. Sedangkan dalam pembuatan dinding atau tembok dibutuhkan bahan-bahan sebagai berikut : batako, pasir, dan semen. Gambarkanlah diagram Venn dari contoh diatas.!

Diketahui :

Bahan pondasi kita gunakan nama P = {batu, pasir, semen}

Bahan tembok kita gunakan nama T = {batako, pasir, semen}

Dit; Diagram Venn

Jawab;

Dalam pembuatan kedua komponen tersebut terdapat elemen-elemen yang sama yaitu pasir dan semen, jadi jika digambarkan akan terjadi irisan di antara kedua himpunan bahan tersebut.

U

P T

batu pasir batako

semen